Transformaciones geométricas.

2.1 Transformaciones Bidimencionales.

Traslación.

Se aplica una traslación en un objeto para cambiar su posición a lo largo de una trayectoría de una línea recta de una dirección a otra.
Al par de distancia de traslación se le llama vector de cambio o vector de traslación.
La traslación es una transformación de cuerpo rígido que mueve objetos sin deformarlos.
Los polígonos se trasladan al sumar el vector de traslación a la posici´n de coordenadas de cada vértice y se vuelve a generar el polígono utilizando un nuevo conjunto de coordenadas y vértices y las especificaciones actuales de los atributos.

Rotación.

Se aplica una rotación bidimencional en un objeto al cambiar su posición a lo largo de la trayectoria de una circunferencia en el plano de 'x,y'. Para generar una rotación, especificamos un ángulo de rotación θ y la posición (xr,yr) del punto de rotación en torno al cual se gira el objeto.
Los valores positivos para el ángulo de rotación definen rotaciones en sentido opuesto a las manecillas del reloj alrededor del punto pivote y los valores negativos giran los objetos en la dirección del reloj.
Si igual que con las traslaciones, las rotaciones son transformadores de cuerpos que mueven los objetos sin deformarlos. Se giran a través del mismo angulo todos los puntos del objeto.

Escalación.

Una tranformación de escalación altera el tamaño de un objeto.
Incluir coordenadas para un punto fijo en las ecuaciones de escalación es similar a incluir coordenadas para un punto pivote en las ecuaciones de rotación.
Se escalan otros objetos al aplicar las ecuaciones de transformación de escalación a los parametros que definen los ojetos.

2.2 Coordenadas Homogéneas y Representación Matricial.

En las aplicaciones de diseño y de creación de imágenes realizamos traslaciones,  rotaciones y escalaciones para ajustar los componentes de la imágen en sus posiciones apropiadas.  Primero, se escalan las posiciones de coordenadas, después se  giran estas coordenadas escaladas  y  por  último se trasladan  las coordenadas giradas.
Expresar posiciones en coordenadas homogéneas nos permite representar todas lasecuaciones de transformación geométrica como multiplicaciones de matriz.
Las representaciones de matriz o representaciones matriciales son métodos estándar para implementar transformaciones en sistemas de gráficas.

2.3 Composición de Transformaciones Bidimencionales.

La creación de productos de matrices de una transformación a menudo se conoce como concatenación o composición de matrices.

Rotación, traslación y escalaciones.

Traslaciones:
P'=T(tx2,ty2)·T(tx1,ty1)·P}{=T(tx2,ty2)·T(tx1,ty1)}·P
Rotaciones:
Dos rotaciones sucesivas que se aplican en el punto P producen la posición transformada.
P'=R(θ2)·R(θ1){·P}=R(θ2){·R(θ1)}·P
Escalaciones:
Concatenar matrices de transformación para dos operaciones de escalación sucesivas.

Rotación del punto pivote general.

1. Traslade el objeto de modo que se mueva la posición del punto del pivote al origen de las coordenadas.
2. Gire el objeto con respecto al origen de las coordenadas.
3. Traslade el objeto de manera que se regrese el punto pivote a su posición original.

En general, es posible determinar una función de rotación para aceptar parámetros para las coordenadas del punto pivote, asi como el ángulo de rotación y gerenrar en forma automática la matriz de rotación de la ecuación.

Escalación del punto fijo general.

1. Traslade el objeto de modo que el punto fijo coincida con el origen de las coordenadas.
2. Escale el objeto con respecto del origen de las coordenadas.
3. Utilice la traslación inversa del paso 1 para regresar el objeto a su posición original.

Propiedades de Concatenación.

La multiplicación de matrices es asociativa. Para tres matrices cualesquiera A, B y C, elproducto matricial A·B·C se puede lelvar a cabo al multiplicar primero a por B o multiplicarprimero B por C:

A·B·C=(A·B)·C=A·(B·C).

2.4 Transformación Ventana-Área de Vista.

Como las primitivas de salida se expresan en coordenadas de mundo, hay que indicar al paquete de subrutinas gráficas cómo establecer la correspondencia entre las coordenadas de mundo y las coordenadas de pantalla.